Ορισμοί: Συνήθης διαφορική εξίσωση τάξης n (γενική ή πεπλεγμένη μορφή και κανονική ή λυμένη
μορφή), λύση, ολοκληρωτική καμπύλη, γενική λύση, γενικό ολοκλήρωμα, λύση υπό παραμετρική
μορφή, μερική λύση, ιδιάζουσα λύση. Το πρόβλημα Cauchy. Γραφικός προσδιορισμός της λύσης.
Εξισώσεις 1ης τάξης: Εξισώσεις ολικού διαφορικού ή ακριβείς, εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών.
H έννοια του πολλαπλασιαστή Euler και η εύρεσή του σε διάφορες χαρακτηριστικές περιπτώσεις.
Γραμμικές εξισώσεις 1ης τάξης. Παραδείγματα.
Εξισώσεις Bernoulli, εξισώσεις Riccati, ομογενείς εξισώσεις. Παραδείγματα – Ασκήσεις.
Εξισώσεις της μορφής y’ = f (a1x+b1y+c1/a2x+b2y+c2), εξισώσεις Clairaut, εξισώσεις Lagrange.
Παραδείγματα.
Το πρόβλημα Cauchy για διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης: Μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων.
Βασικά θεωρήματα για την ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης: Θεώρημα ύπαρξης των E. Picard –
E. Lindelof, Θεώρημα μοναδικότητας και μέγιστου διαστήματος ορισμού της λύσης, Θεώρημα
ύπαρξης του Peano. Παραδείγματα.
Γενικά περί γραμμικών εξισώσεων τάξης n (η έννοια του γραμμικού διαφορικού τελεστή). Θεώρημα
ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του προβλήματος Cauchy. Η έννοια των ομαλών και
ανώμαλων σημείων. Η έννοια της μιγαδικής λύσης. Παραδείγματα. Ομογενείς γραμμικές εξισώσεις:
Αρχή της υπέρθεσης των λύσεων, η έννοια της γραμμικής ανεξαρτησίας λύσεων, ορίζουσα Wronski.
Παραδείγματα.
Ομογενείς γραμμικές εξισώσεις (συνέχεια): θεώρημα για τη μορφή της γενικής λύσης, Θεώρημα
Liouville, τύπος του Abel, η έννοια του θεμελιώδους συνόλου λύσεων. Παραδείγματα.
Μη-ομογενείς γραμμικές εξισώσεις τάξης n. Θεώρημα για τη μορφή της γενικής λύσης.
Παραδείγματα – Ασκήσεις. Η μέθοδος υποβιβασμού τάξης στις ομογενείς γραμμικές εξισώσεις
(μέθοδος D’Alembert). Παραδείγματα.
Μέθοδος επίλυσης των γραμμικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Η έννοια του
χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Θεώρημα για τη μορφή της γενικής λύσης σε όλες τις περιπτώσεις.
Μιγαδικές λύσεις και απομιγαδικοποίηση αυτών. Παραδείγματα.
Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών για την εύρεση μιας μερικής λύσης σε μη-ομογενείς
γραμμικές εξισώσεις. Παραδείγματα.
Η μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων κατά Lagrange για την εύρεση μιας μερικής λύσης σε μηομογενείς γραμμικές εξισώσεις. Παραδείγματα.
Εξισώσεις Euler. Μέθοδος επίλυσης. Παραδείγματα. Εφαρμογές των συνήθων διαφορικών
εξισώσεων. Παραδείγματα από τη Μηχανική και τον Ηλεκτρισμό. Μελέτη των αρμονικών
ταλαντώσεων και του φαινομένου του συντονισμού.
Εισαγωγή στα γραμμικά συστήματα: Η μέθοδος ιδιοτιμών-ιδιοδιανυσμάτων; Πλήρης ανάλυση στην
περίπτωση του 2×2 πίνακα. Παραδείγματα.
Εισαγωγή στην δυναμική της συνήθους διαφορικής εξίσωσης 1ης τάξης: Σημεία ισορροπίας,
ευστάθεια, μέθοδος μονοτονίας και γραμμικοποίησης, μονοδιάστατες ροές. Παραδείγματα.

Τύπος Μαθήματος

Γενικού υπόβαθρου

Συγγράμματα