Η εξίσωση του Νεύτωνα για σύστημα σημειακών μαζών, συντηρητικές δυνάμεις, νόμοι διατήρησης
(ενέργειας, στροφορμής, γραμμικής ορμής) και μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου.
Στοιχεία θεωρίας μεταβολών (συναρτησοειδή, μεταβολή ενός συναρτησοειδούς, αναγκαία συνθήκη
ύπαρξης μεγίστου για συναρτησοειδή, παράγωγος μεταβολής, τετραγωνικά συναρτησοειδή, η
δεύτερη μεταβολή συναρτησοειδούς).
Παραδείγματα: Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα, η αρχή ελαχίστου χρόνου του Fermat και εφαρμογές
της.
Μηχανική κατά Lagrange: Γενικευμένες θέσεις και ταχύτητες, Λαγκραντζιανή συνάρτηση και
ολοκλήρωμα δράσης, η αρχή του D’Alembert, η αρχή του Hamilton, οι εξισώσεις Euler-Lagrange
χρησιμοποιώντας τις αρχές των D’Alembert και Hamilton.
Εισαγωγικές παρατηρήσεις για τις συμμετρίες και τους νόμους διατήρησης. Το θεώρημα της
Noether. Διατήρηση ενέργειας, γραμμικής ορμής και στροφορμής. Συμμετρίες των εξισώσεων EulerLagrange. Το γενικό θεώρημα της Noether.
Προβλήματα.
Θεωρία συνδέσμων και πολλαπλασιαστές Lagrange. Συστήματα με κινούμενους συνδέσμους, μη
διατήρηση της ενέργειας, εξισώσεις Euler-Lagrange για κινούμενους συνδέσμους Παραδείγματα.
Μηχανική κατά Hamilton: Μετασχηματισμός Legendre, Χαμιλτονιανή συνάρτηση, κανονικές
εξισώσεις Hamilton, παραδείγματα.
Ο χώρος των φάσεων: επίπεδο φάσεων, χώρος φάσεων, φασική καμπύλη, φασική ροή, πορτραίτο
φάσεων, ο χώρος φάσεων του απλού εκκρεμούς, πορτραίτα φάσεων συντηρητικών συστημάτων.
Οι εξισώσεις Hamilton στο φασικό χώρο. Παραδείγματα.
Κανονικοί μετασχηματισμοί (χρονικά εξηρτημένοι και ανεξάρτητοι), ιδιότητές τους, θεώρημα
Liouville, γεννήτορες κανονικών μετασχηματισμών.
Η θεωρία Hamilton-Jacobi: Η χρονο-ανεξάρτητη εξίσωση H-J, συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας,
δρασιογώνιες μεταβλητές, εισαγωγή στα ολοκληρώσιμα συστήματα.
Αγκύλη Poisson και ο συμπλεκτικός πίνακας. Επίλυση των Χαμιλτονιανών εξισώσεων.

Τύπος Μαθήματος

Ειδικού υπόβαθρου

Συγγράμματα